|
|
The Qualitative and Numerical Analysis of Nonlinear Delay Differential Equations
Dvořáková, Stanislava ; Baštinec, Jaromír (referee) ; Šremr,, Jiří (referee) ; Čermák, Jan (advisor)
Disertační práce formuluje asymptotické odhady řešení tzv. sublineárních a superlineárních diferenciálních rovnic se zpožděním. V těchto odhadech vystupuje řešení pomocných funkcionálních rovnic a nerovností. Dále práce pojednává o kvalitativních vlastnostech diferenčních rovnic se zpožděním, které vznikly diskretizací studovaných diferenciálních rovnic. Pozornost je věnována souvislostem asympotického chování řešení rovnic ve spojitém a diskrétním tvaru, a to v obecném i v konkrétních případech. Studována je rovněž stabilita numerické diskretizace vycházející z $\theta$-metody. Práce obsahuje několik příkladů ilustrujících dosažené výsledky.
|
|
|
Solution of difference equations and relation with Z-transform
Klimek, Jaroslav ; Smékal, Zdeněk (referee) ; Růžičková,, Miroslava (referee) ; Diblík, Josef (advisor)
This dissertation presents the solution of difference equations and focuses on a method of difference equations solution with the aid of eigenvectors. The first part reminds the basic terms from area of difference equations such as dynamic of difference equations and linear difference equations of first order and higher order. Then the second section recalls also the system of difference equations including the fundamental matrix and general solution description. Afterthat, the method of solving the difference equations with a variation of constants and transform of scalar equations to the system are shown. The second part of the dissertation analyses some known algorithms and methods for the solution of linear difference equations. The Z-transform, its importance and usage for finding the solution of difference equation is recalled. Then the discrete analogue of Putzer's algorithm is mentioned because this algorithm was often used to check the results obtained by the newly described algorithm in further parts of this thesis. Also some ways of the system matrix power are stated. The next section then describes the principle of Weyr's method which is the basic point for further development of the theory including the presentation of the research results gained by Jiří Čermák in this area. The third part describes own solution of the difference equations system via eigenvectors based on the principle of Weyr's method for differential equations. The solution of system of linear homogeneous difference equtions with constant coefficients including the proof is presented and this solution is then extended to nonhomogeneous systems. Consequently to the theory, the influence of a nulity and the multiplicity of roots on the form of the solution is discussed. The last section of this part shows the implementation of the algorithm in Matlab program (for basic simpler cases) and its application to some cases of difference equations and systems with these equations. The final part of the thesis is more practical and it presents the usage of the designed algorithm and theory. Firstly, the algorithm is compared with Z-transform and the method of variation of constants and it is illustrated how to obtain the same results by using these three approaches. Then an example of current response solution in RLC circuit is demonstrated. The continuous case is solved and then the problem is transferred to discrete case and solved with the Z-transform and the method of eigenvectors. The obtained results are compared with the result of the continuous case.
|
|
|
Linear difference equations: stability analysis
Tesař, Lukáš ; Dosoudilová, Monika (referee) ; Tomášek, Petr (advisor)
This thesis deals with asymptotic stability investigation of linear difference equation. The Schur-Cohn criterion and discrete Routh-Schur criterion are introduced and demonstrated on several examples. Both criterions are implemented in Maple programming enviroment. Boundary locus technique is illustrated on a stability analysis of the Adams-Bashforth method for numerical solving of an initial value problem of first order ordinary differential equation.
|
|
| |
|
|
Representation of Solutions of Linear Discrete Systems with Delay
Morávková, Blanka ; Růžičková, Miroslava (referee) ; Khusainov, Denys (referee) ; Diblík, Josef (advisor)
Disertační práce se zabývá lineárními diskrétními systémy s konstantními maticemi a s jedním nebo dvěma zpožděními. Hlavním cílem je odvodit vzorce analyticky popisující řešení počátečních úloh. K tomu jsou definovány speciální maticové funkce zvané diskrétní maticové zpožděné exponenciály a je dokázána jejich základní vlastnost. Tyto speciální maticové funkce jsou základem analytických vzorců reprezentujících řešení počáteční úlohy. Nejprve je uvažována počáteční úloha s impulsy, které působí na řešení v některých předepsaných bodech, a jsou odvozeny vzorce popisující řešení této úlohy. V další části disertační práce jsou definovány dvě různé diskrétní maticové zpožděné exponenciály pro dvě zpoždění a jsou dokázány jejich základní vlastnosti. Tyto diskrétní maticové zpožděné exponenciály nám dávají možnost najít reprezentaci řešení lineárních systémů se dvěma zpožděními. Tato řešení jsou konstruována v poslední kapitole disertační práce, kde je řešení tohoto problému dáno pomocí dvou různých vzorců.
|
|
|
Properties of sequence spaces and their applications in the theory of nonlinear difference equations
Kosík, Jindřich ; Šremr, Jiří (referee) ; Řehák, Pavel (advisor)
The goal of this thesis is a detailed elaboration on apparatus of functional analysis for study of qualitative properties of solutions of difference equations and its application for analysis of a specific nonlinear difference equation. The thesis includes detailed analysis of some properties of sequence spaces, discrete versions of Levi's monotone convergence theorem and Lebesgue's dominated convergence theorem and criteria for relative compactness of sequence spaces. Theoretical apparatus is completed with fixed point theorems. Introduced mathematical instruments are later used for study of a concrete nonlinear difference equation.
|
|
|
Discrete Regular Variation and Difference Equations
Čaputa, Daniel ; Tomášek, Petr (referee) ; Řehák, Pavel (advisor)
Táto práca sa zaoberá asymptotickou analýzou lineárnej diferenčnej rovnice druhého rádu s využitím teórie Karamatovských postupností. Sú zhromaždené vlastnosti regulárne sa meniacich postupností, ktoré sú užitočné v asymtotickej teórii. Pomocou transformácie diferenčnej rovnice na dynamickú rovnicu na vhodnú časovú škálu a dokázaním všeobecného výsledku pre dynamickú rovnicu je odvodená podmienka, ktorá zaručí regulárnu variáciu priestoru riešení diferenčnej rovnice. Kombináciou rôznych techník sú odvodené asymptotické formule a riešenia diferenčnej rovnice sú klasifikované do istých asymptotických tried.
|
|
| |
|
|
Continuous and discrete models of population biology
Fedorková, Lucie ; Tomášek, Petr (referee) ; Čermák, Jan (advisor)
This thesis analyzes the continuous and discrete logistic model of a single-species population. For both of these models, there are discussed problems of equilibria, their stability and behaviour of the solutions for different initial conditions. In the case of the discrete model, the periodic behaviour of solutions is discussed in detail with respect to change of a parameter characterizing growth of the investigated population. The chaotic behaviour of solutions is mentioned as well. The graphic interpretations of each of the problems are performed using the software MATLAB. The calculations are checked via the software Maple.
|
|
| |
guest ::
